微积分(2)

前序课程:微积分（1）

课程介绍：

本课程科学系统地介绍了定积分（包括反常积分）、多元函数微积分学（包括而重积分）、无穷级数、微分方程初步和差分方程等内容，并讨论了相关的应用例子和经济数学模型。除每节都配有基本练习题外，各章后还配置了精选的综合习题。

考核方法：

期末考试成绩占总成绩的70%，平时作业成绩占总成绩的30%。

教材及参考书目：

1. 朱来义. 微积分（面向21世纪课程教材，高等学校经济管理学科数学基础）.北京:高等教育出版社,2010

2．刘建亚、吴臻、蒋晓芸. 微积分（第2版） 高等教育出版社 2011。

3．同济大学数学系. 高等数学（第六版） 高等教育出版社

4．郭大钧、陈玉妹. 数学分析 山东科技出版社，2004年

5．复旦大学数学系. 欧阳光中朱学炎金福临陈传璋 《数学分析（第三版）》高等教育出版社。2007

6. 华东师范大学数学系. 《数学分析（第四版）》高等教育出版社2010.

7 (美)Tom M.Aposto. Mathematical Analysis,Second数学分析（英文版·第2版）Addison-Wesley 2004年07月26日

课程内容：

第一周：§6.1 定积分的概念与性质

一、两个实例

二、定积分的定义

三、定积分的几何意义

四、定积分的基本性质

第二周：§6.2 微积分基本定理

一、变限积分与原函数

变上限积分，原函数存在定理；变上限积分的求导方法；

二、微积分基本定理

牛顿——莱布尼兹公式。

第三周§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法

一、定积分的换元积分法

二、定积分的分部积分法

§6.4 定积分的应用

一、平面图形的面积;

二、立体的体积;

三、简单的经济应用问题。

第四周：§6.5 反常积分初步

一、无穷限积分

二、瑕积分

三、G函数与B函数

第五周：§7.1 预备知识

空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间曲面与曲面方程。平面上的区域，区域的边界，点的邻域，内点外点、边界点、开集、开区域与闭区域等概念。

§7.2 多元函数的概念

一、多元函数的定义；

二、二元函数的定义域与几何意义；

三、二元函数的极限与连续性。

第六周：§7.3 方向导数、偏导数与全微分

一、方向导数偏导数；

二、全微分

三、梯度

第七周：§7.4 多元复合函数微分法与隐函数微分法

一、多元复合函数微分法

二、一阶全微分的形式不变性

三、隐函数微分法

§7.5 高阶偏导数与高阶全微分

一、高阶偏导数

二、高阶全微分

三、二元函数的泰勒公式

第八周：§7.6 多元函数的极值

一、多元函数的极值

二元函数极值的定义，极值的必要条件与充分条件；

二、条件极值与拉格朗日乘数法。

第九周：§7.7 二重积分

一、二重积分的概念和性质

二、二重积分的计算

三、无界区域上的反常二重积分

第十周：§8.1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

无穷级数及其一般项与部分和的概念；无穷级数收敛与发散的定义；收敛级数和的概念；几何级数与调和级数的收敛性；

二、级数的基本性质

无穷级数收敛的必要条件；收敛级数的基本性质。

§8.2 正项级数

一、正项级数收敛的概念；正项级数收敛的充分必要条件；

二、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法，柯西根值判别法，积分判别法，P级数的敛散性。

第十一周：§8.3 任意项级数

交错级数的概念；交错级数敛散性的莱布尼兹判别法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；绝对收敛与条件收敛的判别法。

第十二周：§8.4 幂级数

一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性

三、幂级数的基本性质

四、泰勒级数及其应用

第十三周：§9.1 微分方程的基本概念

一、微分方程的定义，

二、微分方程解（通解、特解）、定解条件和初值问题等基本概念。

§9.2 一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程；

二、齐次微分方程；

三、一阶线性微分方程。

第十四周：§9.3 二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数齐次线性方程；

二、二阶常系数非齐次线性方程。

§9.4 微分方程在经济学中的应用

一、新产品的推广模型

二、价格调整模型

三、人才分配问题模型

第十五周§10.1 差分方程的基本概念

差分与差分方程的概念，差分方程的阶、解（通解、特解）。

§10.2 一阶常系数线性差分方程

一、一阶齐次差分方程的通解；

二、一阶非齐次差分方程的特解与通解。

三、二阶齐次方程的通解；

第十六周§10.3 差分方程在经济学中的简单应用

一、“筹措教育经费”模型

二、价格与库存模型

三、国民收入的稳定分析模型

第十七周：期末考试